这一讲主要介绍変分学的基本原理以及欧拉-拉格朗日方程。

参考资料:

这一部分开始正式讨论变分法,在讨论之前需要给出几个定义。

函数类

满足某种共同性质的函数构成的集合称为函数类,常见的函数类有:

  • $C[a,b]$:在区间$[a, b]$上连续的函数全体;
  • $C^n[a,b]$:在区间$[a, b]$上$n$阶导函数连续的函数全体;
    • 0阶导函数为函数本身,即$C^0[a,b]=C[a,b]$;

在变分法中,主要讨论的是$C^1[a,b]$。

泛函

记$F=\{y(x)\}$为某个函数类,如果对于$\forall y(x)\in F$,变量$J$都有一个确定的值与之对应,则称$J$为函数$y(x)$的泛函,记为$J[y(x)]$,$y(x)$称为泛函$J$的宗量

例子

变分

考虑函数类:

其中$y_0$为某一给定函数。

对于任意$x\in [a, b]$,函数$y(x)\in F$与另一函数$y_0(x)$之差$y(x)-y_0(x)$在$y(x)$在$y_0(x)$处的变分,记作$\delta y$,$\delta $称为变分符号:

式中$\epsilon > 0$是一个小量,$\eta (x)$是任意函数。

根据函数类的定义,可得:

上述性质在后续讨论中会反复被使用。

注意函数的变分依然是函数,这一点要和微分区别开来,具体可以用下图理解:

变分和微分

假设之前引入$y, y_0$都可导,那么:

即变分和微分可交换次序:

泛函的变分

定义泛函的变分为:

泛函极值条件

可以看到,函数(微分)和泛函(变分)是对应的,类似函数中的极值定理,对于泛函$J$,如果其在$y=y_0$取极值,那么:

变分法预备定理

对于$f\in C[a,b]$,如果

都有:

那么:

证明:

取:

那么:

因为:

所以必然有:

即:

欧拉-拉格朗日方程

现在考虑泛函极值问题:

根据之前讨论,可得只需计算:

根据定义,我们有:

所以

利用分布积分公式计算第二项(利用$(\delta y)(a)=(\delta y)(b) =0$):

所以原式可以变换为:

利用$\delta y$的任意性以及变分法预备定理,可得:

这就是欧拉-拉格朗日方程